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study

L:格子として、関数g:R^n→R^+を
g(x) = \Bigsum_{y \in L} e^{-\pi \| x-y \| ^2}
と定義して、
f(x) = \frac{g(x)}{g(0)}
と定義する。すると、
d(x,L) \geq c\sqrt{n}の時、f(x)は無視できる程小さくなって、
d(x,L) \leq \sqrt{c' \log n}の時、f(x)は程ほどに大きくなる*1
まぁここまでは分かる。証明を読めばついていける。
で、fのフーリエ級数は、
\hat{f}(w) = \frac{e^{-\pi \| w \| ^2}}{\Bigsum_{z \in L^{*}} e^{-\pi \| z \| ^2}}
まぁこれもいい。
で、フーリエ級数の方が、L^{*}上の確率測度になっているのもまぁ良い。
f(x) = \Bigsum_{w \in L^{*}} \hat{f}(w) e^{2 \pi i <w,x>} = \Bigsum_{w \in L^{*}} \hat{f}(w) \cos(2\pi <w,x>)
ってなるからf(x)ってwを\hat{f}に従って選んだ時の\cos(2 \pi <w,x>)の期待値ってのも良い。結局Wが確率変数で、\hat{f}が確率密度関数なのね。

*1:c,c'にも色々あるけど