ガウス記号付き因数分解

ref:[x^2]-2x+1=0を因数分解し、解の和の10乗を求めよ。＊[　]はガウスの記号です。だれか教えてください
あー、もう。全員間違ってるよ。
TeXを使う為にガウス記号=floorで書く。 $Z$ は整数の集合。 $Z+\frac{1}{2}$ のような形は、 $\{...,\frac{-1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},...\}$ なる集合を表すとする。
$x-1 < \lfloor x \rfloor \leq x$ 、と。
で、方程式は
$\lfloor x^2 \rfloor-2x+1=0$
変形して、
$2x=\lfloor x^2 \rfloor +1 \in Z$
よって、
$x \in Z \cup Z+\frac{1}{2}$
ここから場合分けを行う。
$x \in Z$ の場合、与式より
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
よって解は1。
次に、 $x \in Z+\frac{1}{2}$ の場合、
$x=k+\frac{1}{2}(k\in Z)$ だから、 $x^2=k^2+k+\frac{1}{4}$ 。
$x<0$ の場合は方程式が成り立たないので(証明略)、 $k\geq0$ となる。
よって、 $\lfloor x^2 \rfloor = x^2-\frac{1}{4}$ 。
方程式に代入すると、
$x^2-\frac{1}{4}-2x+1=0$
$(x-\frac{3}{2})(x-\frac{1}{2})=0$ 。
よって解は $\frac{3}{2},\frac{1}{2}$ 。
解の和の10乗は、
$(1+\frac{3}{2}+\frac{1}{2})^{10}=3^{10}=59049$ 。

1の人(id:hengsu)は2x=偶数と言っているのに自分でx=0.5を導いている。
2の人(id:kddi)はガウス記号=フロア関数を理解していない。
3の人(id:shampoohat)は答えになってない。
いわしに書いている臥龍さん@id:garyoは因数分解出来てない。
と、半ば切れながら回答終了。