んー、

b_i (i=1,\ldots,n)は全部正の整数。少なくとも1組は同じ数がある。
k=\lceil \epsilon^{-1} \rceil 2^n \prod_{i\not=j}|2^n(b_i-b_j)+(i-j)|
とkを定義する。
\bar{b_i}=k b_i-\frac{ki}{2^n}-iとしたときに\bar{b_i}が互いに素ということを示したいのだけれども、うまくいかなくて困る。あっさり「互いに素」とか書いてあるんだよなぁ。

やった反例出来たよーヽ( ・∀・)ノ
(b_1,b_2,b_3,b_4) = (1,2,3,2)で互いに素でなくなる。
面倒なので、l = \lceil \epsilon^{-1} \rceil, m=\prod_{i\not=j}|2^n(b_i-b_j)+(i-j)|とおくと,k=2^4mlで、

  1. \bar{b_1}=2^4ml-ml-1
  2. \bar{b_2}=2\times 2^4ml-2ml-2 (偶数)
  3. \bar{b_3}=3\times 2^4ml-3ml-3=3\bar{b_1}
  4. \bar{b_4}=2\times 2^4ml-4ml-4 (偶数)

絶対に「互いに素」じゃ無い。
おかげで3-minorsの最大公約数が1や無くなってしまう。どうにかして修正せんとな。
あ、論文はLNCS267に入っているPaz and Schnorrの"Approximating Integer Lattices By Lattices with Cyclic Factor Groups"。

Prop. 5も反例がありそうな気がして嫌ン。もうちょっと良い証明方法があるんじゃなかろうか。successive minima \lambda_i(L)が整数じゃない例なんていくらでもあるだろうに。文脈からいくとnormは普通のl2-normだしな。

\bar{b_i}の構成法を変えると修正出来た。酷い誤植だ。
Prop. 5の方は明らかにおかしいようなので、確認が要る。