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log_{10} (2^{100})!を推定する

math

適当に近似してみましょう.

  1. A = 2^{100}とおく.
  2. Stirlingの近似式よりA! \sim \sqrt{2\pi A}(A/e)^A.
  3. よって, \log(A!) \sim \frac{1}{2}(\log{2} + \log{\pi} + \log{A}) + A (\log{A} - \log{e}).
  4. 細かい項を無視して, \log(A!) \sim 2^{100} 100 * \log{2} \sim 30 * 2^{100}. (log_{10} 2 = 0.3010...)

って感じですかね. 暗算だと.