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Reed-Muller符号のリスト復号

P. Gopalan, A.R. Klivans, and D. Zuckerman. “List-Decoding Reed-Muller Codes over Small Fields.” (STOC 2008)
中身読んでないのでメモだけ.

r次のRM符号RM(r,m,2)のメッセージ空間は, m変数r次のF_2上多項式の集合. 符号が入っている空間はF_2^mの各要素でメッセージである多項式を評価したもの.
[n,k,d]線形符号でn=2^m, k=\sum_{i \leq r} \left(\begin{matrix}m\\ i\end{matrix}\right), d=2^{m-r}.

qがdより大きい場合には既に結果がある. Sudan, Trevisan, Vadhan (2001) とかPellikaan and Wu (2004) とか.
qがd以下かつ小さい場合には次数rが1の場合はHadamard符号なんでGoldreich-Levinでよい. よって, rが2以上かつqが小さい場合のリスト復号を提案している.

  • 復号に掛る時間はpoly(m^r,ε^{-r}).
  • リストサイズ:ε^{-O(r)}
  • 半径:2^{-r}-ε

rは定数扱いしていいので, これでいいらしい.