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2003-12-21

練習

etc

|p(N)|=|R|を示せ。
Nの部分集合を三つに分ける。

  1. 有限集合全体P_1
  2. 補集合が有限集合なものP_2
  3. それ以外P_3

P_1及びP_2及びP_1 \cup P_2は可算集合。また、|P_1 \cup P_2|=|P_2|なので、|p(N)|=|P_1 \cup P_2 \cup P_3|=|P_2 \cup P_3|。|P_2 \cup P_3|はNの無限部分集合全体である。
Nの無限部分集合全体Bに対して特性関数\chi_B(n)を用いて、Bから(0,1]に対して無限級数2$\Bigsum_{n=1}^\infty~2^{-n}\cdot\chi_B(n)で全単射が与えられる。
よって、|N|=|B|=|(0,1]|=|R|

smoking186 2003-12-21 05:42

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