練習 - 186 @ hatenablog

$|p(N)|=|R|$ を示せ。
$N$ の部分集合を三つに分ける。

有限集合全体 $P_1$
補集合が有限集合なもの $P_2$
それ以外 $P_3$

$P_1$ 及び $P_2$ 及び $P_1 \cup P_2$ は可算集合。また、 $|P_1 \cup P_2|=|P_2|$ なので、 $|p(N)|=|P_1 \cup P_2 \cup P_3|=|P_2 \cup P_3|$ 。 $|P_2 \cup P_3|$ は $N$ の無限部分集合全体である。
Nの無限部分集合全体 $B$ に対して特性関数 $\chi_B(n)$ を用いて、Bから $(0,1]$ に対して無限級数 $2$\Bigsum_{n=1}^\infty~2^{-n}\cdot\chi_B(n)$ で全単射が与えられる。
よって、 $|N|=|B|=|(0,1]|=|R|$