ポワソンの和公式

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ポアッソンの公式で載っているのもあるのだな。
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} g(2\pi n+x)
は一様に収束するフーリエ級数に展開可能な関数。
|g(y)|は-\infty < y < \inftyで積分可能・連続・有界変動。y \rightarrow \pm \inftyのとき単調に0に収束。

このときf(x)は周期2\piの周期関数。で、0 \leq x \leq 2\piで複素フーリエ級数に展開してみる。
f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{inx}
C_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-int} dx
としておく。
\sum_{n=-\infty}^{\infty} g(x+2n\pi)
=\sum_{r=-\infty}^{\infty} \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}g(y+2n\pi)e^{-iry}dy\cdot e^{irx}
=\frac{1}{2\pi}\sum_{r=-\infty}^{\infty} e^{irx}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{0}^{2\pi}g(y+2n\pi) e^{-iry}dy
=\frac{1}{2\pi}\sum_{r=-\infty}^{\infty} e^{irx}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \int_{2n\pi}^{2(n+1)\pi}g(y)e^{-iry}dy
=\frac{1}{2\pi}\sum_{r=-\infty}^{\infty} e^{irx}\int_{-\infty}^{\infty}g(y)e^{-iry}dy
さて、ベクトルに拡張するか。