最大公約数

RADWIMPSの「最大公約数」より

僕は僕で君は君　その間には無限に
あるはずだよ　二人だけの公約数

ないよ。

僕と君が整数で、それぞれの有限性を仮定すると、公約数は有限。
二つ元を取ったときに公約数が無限存在しうるUFDはあるのかな。一意分解しなくていいならありそうか?

蛇足だけど、公約数を多くしたいなら僕=君の方がいいよ。