相反多項式 - 186 @ hatenablog

何か適当に考えていたら相反多項式に当たったのでメモ.
以下, $f=x^n\pm 1$ とする.

$\mathbb{R}[x]/(f)$ を考える. これと $\mathbb{R}^n$ を同一視する.
$a(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$ について, $\vec{a}=(a_0,...,a_{n-1})$ (縦ベクトル) と対応付ければ良い.
次に $r(a)=x \otimes a(x)$ と関数rを定義する. 一回だけ回すイメージ. 更に関数Rを $R(a)=(a, r(a), ..., r^{n-1}(a))$ として定義する. R(a)はfが $x^n-1$ のとき巡回行列. fが $x^n+1$ のときも似たようなもの.
すると, $a\otimes b=R(a)b$ という関係が得られる.

上からaとbの内積, r(a)とbの内積という風に並んでいる縦ベクトル $R(a)^t b$ はどういう形になるか?
多項式aについて, $f=x^n-1$ なら $a^*=x^n a(1/x) \bmod{f}=a_0+a_{n-1}x+a_{n-2}x^2+\cdots+a_1x^{n-1}$ , $f=x^n+1$ なら $a^*=-x^n a(1/x)\bmod{f}=a_0-a_{n-1}x-a_{n-2}x^2-\cdots-a_1x^{n-1}$ とすると, $R(a)^t=R(a^*)$ になっている. よって, $R(a)^t b = R(a^*) b = a^* \otimes b$ が得られる.

ちょっと数学の方と定義が違うが, 相反多項式ぽいものが出てくる.