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F_3上の多項式

x^{2^{k+2}}+1 (k:0以上の整数) はF_3上でx^{2^{k+1}}\pm x^{2^k}-1因数分解でき, それぞれ既約な気がする.
d次の多項式fのF_3上の既約性を判断するには, F_3のd次拡大を考えてやる. すると多項式x^{3^d}-xがd次以下のdの約数の次数を持つモニックかつ既約な多項式の積になっている. なので最初にx^{3^d}-x rem f = 0を確認する.
さらに, dの極大な約数rを考えて, x^{3^r}-xとfが互素なら既約と言える.

一番最初の例でいくと, x^{3^{2^k}}-xx^{2^{k+1}}\pm x^{2^k}-1が互素であることを示せば良いことになる.
後者の符号が負の方の多項式で前者の剰余を考えると楽かと思い計算してみた. すると, 二項係数とフィボナッチ数を掛けて和を取ったものを2つ考えて, それが同時にmod 3で0でないことを証明しろ, という嫌な事態になった. 非常に面倒(;´Д`)

誰か証明してないかと思って探してみたものの見つからない. 3元符号は皆, 嫌いか.