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相反多項式

何か適当に考えていたら相反多項式に当たったのでメモ.
以下, f=x^n\pm 1とする.

\mathbb{R}[x]/(f)を考える. これと\mathbb{R}^nを同一視する.
a(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}について, \vec{a}=(a_0,...,a_{n-1}) (縦ベクトル) と対応付ければ良い.
次にr(a)=x \otimes a(x)と関数rを定義する. 一回だけ回すイメージ. 更に関数RをR(a)=(a, r(a), ..., r^{n-1}(a))として定義する. R(a)はfがx^n-1のとき巡回行列. fがx^n+1のときも似たようなもの.
すると, a\otimes b=R(a)bという関係が得られる.

上からaとbの内積, r(a)とbの内積という風に並んでいる縦ベクトルR(a)^t bはどういう形になるか?
多項式aについて, f=x^n-1ならa^*=x^n a(1/x) \bmod{f}=a_0+a_{n-1}x+a_{n-2}x^2+\cdots+a_1x^{n-1}, f=x^n+1ならa^*=-x^n a(1/x)\bmod{f}=a_0-a_{n-1}x-a_{n-2}x^2-\cdots-a_1x^{n-1}とすると, R(a)^t=R(a^*)になっている. よって, R(a)^t b = R(a^*) b = a^* \otimes bが得られる.

ちょっと数学の方と定義が違うが, 相反多項式ぽいものが出てくる.