拡張する方向 - 186 @ hatenablog

昨日、Iz君が問題を解いているので見てみるとそれは大学入試風の問題だった。
「 $x+y+z = 2$ , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{2}$ ,の時, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}$ の値を求めよ」
答えは $\frac{1}{8}$ だ。拡張するとこんな問題が出来る。
「 $x+y+z = a$ , $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} = \frac{1}{a}$ の時, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}$ の値を求めよ」
こっちは $\frac{1}{a^3}$ になる。
で、拡張する方向を一寸変えて変数をn個に増やしたらどうなるのだろうか。
「 $x_1+x_2+...+x_n = a$ , $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}$ の時, $\frac{1}{{x_1}^n}+\frac{1}{{x_2}^n}+...+\frac{1}{{x_n}^n}$ の値は $\frac{1}{a^n}$ か?」