question:1109994323

釣られてみましょう
3番の回答の変な点。適宜数学記号をTeXで書いています。

\sqrt{2}\sqrt{2}乗は2の0.5乗の\sqrt{2}乗なので
\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}です
2^{\sqrt{2}}超越数ですから
2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \times 2^{\sqrt{2}} = 1
2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}超越数になります(つまり無理数)よって\sqrt{2}\sqrt{2}乗は無理数です

2^{\sqrt{2}}無理数超越数であることはヒルベルトの第7問題「種々の数の無理性と超越性」によって提起され1934年にゲルフォントやシュナイダーによって証明されました

後半は略す。
ところでaki73ix氏は指数法則を確認しましたか。リンク先の高専の先生も勘違いしている気がするのですが、a^b \times a^c=a^{b+c}ですよね。指数法則って。

2^{\sqrt{2}}超越数であるということが既知なら楽か。
{\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{p}{q}有理数であると仮定する。
このとき、2 = ({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\frac{p}{q})^{\sqrt{2}}
もう一度\sqrt{2}乗して
2^{\sqrt{2}} = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}
左辺が超越数に矛盾。

つぅかid:dasm:20050305にあるとおりGelfond-Schneider Theoremを使うと一発なのか。

If \alpha and \beta are algebraic numbers with \alpha \not= 0,\alpha \not= 1, and \beta \not\in Q, then {\alpha}^{\beta} is transcendental.

無理数どころか超越数まで。