question:1109994323 - 186 @ hatenablog

釣られてみましょう。
3番の回答の変な点。適宜数学記号をTeXで書いています。

$\sqrt{2}$ の $\sqrt{2}$ 乗は2の0.5乗の $\sqrt{2}$ 乗なので
$\sqrt{2}^{\sqrt{2}} = 2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ です
$2^{\sqrt{2}}$ は超越数ですから
$2^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \times 2^{\sqrt{2}} = 1$ で
$2^{\frac{1}{\sqrt{2}}}$ も超越数になります（つまり無理数）よって $\sqrt{2}$ の $\sqrt{2}$ 乗は無理数です
$2^{\sqrt{2}}$ が無理数で超越数であることはヒルベルトの第７問題「種々の数の無理性と超越性」によって提起され1934年にゲルフォントやシュナイダーによって証明されました

後半は略す。
ところでaki73ix氏は指数法則を確認しましたか。リンク先の高専の先生も勘違いしている気がするのですが、 $a^b \times a^c=a^{b+c}$ ですよね。指数法則って。

$2^{\sqrt{2}}$ が超越数であるということが既知なら楽か。
${\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = \frac{p}{q}$ と有理数であると仮定する。
このとき、 $2 = ({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\frac{p}{q})^{\sqrt{2}}$ 。
もう一度 $\sqrt{2}$ 乗して
$2^{\sqrt{2}} = (\frac{p}{q})^2 = \frac{p^2}{q^2}$
左辺が超越数に矛盾。

つぅかid:dasm:20050305にあるとおりGelfond-Schneider Theoremを使うと一発なのか。

If $\alpha$ and $\beta$ are algebraic numbers with $\alpha \not= 0,\alpha \not= 1$ , and $\beta \not\in Q$ , then ${\alpha}^{\beta}$ is transcendental.

無理数どころか超越数まで。