お題への解答 - 186 @ hatenablog

q : 素数, n, m : 整数のとき、
$\left(\begin{array}{c}q^m\\n\end{\array}\right)\equiv0\pmod{q}$
を示せ。0 < n < q^m とします。

逆にした方が分かり易いんじゃないでしょうか.

証明

Z/qZ上で, 恒等式 $(x + y)^{q^m}=x^{q^m} + y^{q^m}$ が成立すれば題意が言える.

まずZ/qZで $(x + y)^q = x^q + y^q$ を示す.
これは割と簡単に言えて, $x^a y^{q-a}$ の係数は $\left(\begin{array}{c}q\\a\end{\array}\right)$ . 0 < a < qについて $\left(\begin{array}{c}q\\a\end{\array}\right)\equiv0\pmod{q}$ となるのでOK.
(\binom{q}{a} = q (\binom{q-1}{a-1}/a). \binom{q}{a}が整数なこととqが素数であることより, 括弧内は整数. よって, 言える.)

次に, mに関する帰納法を使う. m=1の場合は上より言える.
$(x + y)^{q^m} = ((x + y)^{q^{m-1}})^q$
$= (x^{q^{m-1}} + y^{q^{m-1}})^q$
$= (x^{q^{m-1}})^q + (y^{q^{m-1}})^q$
$= x^{q^{m}} + y^{q^{m}}$
となる.
よって帰納法より任意の自然数mについて言える.