過去問

study

16年と13年の問題が殆ど同じ様な……。ちょっと違うんだけど扱っている対象が同じ。
13年のでも解いてみるか。

区間[0,T]上に一様分布に従ってn個プロット。
1. t\in [0,T]として、[0,t]上にk個の点が来る確率。
二項分布やん。
p(t,k) = \left(\array{n\\k}\right)(\frac{t}{T})^{k}(1-\frac{t}{T})^{n-k}

2. T=\frac{n}{\lambda}と置いてnを無限に飛ばした時のp(t,k)
p(t,k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} (1-\frac{\lambda t}{n})^n (1 - \frac{\lambda t}{n})^{-k} \frac{n}{n} \frac{n-1}{n} \cdot \cdot \cdot \frac{n-k+1}{n}
\rightar \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{-\lambda t}

3. 小さい順に並べて、S_{(1)} , ... , S_{(n)}とすると、S_{(0)}の分布は、Pr\{ S_{(1)} \leq t\} = 1 - p(t,0)。S_{(2)}の分布関数を表せ。
普通に計算。
Pr\{ S_{(2)} \leq t\} = 1 - Pr\{ S_{(1)} > t or S_{(1)} \leq t , S_{(2)} > t \}
= 1 - (Pr\{ S_{(1)} > t\} + Pr\{ S_{(1)} \leq t\ , S_{(2)} > t\})
= 1 - p(t,0) - p(t,1)

4. 上の確率密度関数を求め2.と同様にnを無限に飛ばせ。
求める確率密度関数をf(t)とする。確率分布関数をtについて微分すれば良いので、
f(t) = \lambda^2 t \frac{n-1}{n}(1-\frac{\lambda t}{n})^{n-2}
\rightar \lambda^2 t e^{-\lambda t}

16年だと各確率変数がパラメータ1の指数分布に従っている。で同じように計算させるようだ。